Energia ruchu harmonicznego

Energią potencjalną sprężyny obliczyliśmy w rozdziale Praca wykonana przez siłę zmienną przy okazji dyskusji o pracy wykonywanej przez siły zmienne. Pokazaliśmy wtedy, że energia potencjalna sprężyny rozciągniętej o \( x \) wynosi

(1)

\( E_{{p}}=\frac{{kx}^{{2}}}{2} \)

Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa \( m \) znalazła się w chwili \( t = 0 \) w położeniu \( x = A \), to energia potencjalna układu

(2)

\( E_{{p}}=\frac{{kA}^{{2}}}{2} \)

jest zarazem energią całkowitą (energia kinetyczna \( E_{k}=0 \)). Jeżeli puścimy sprężynę to jej energia potencjalna będzie zamieniać się w energię kinetyczną masy \( m \). Przy założeniu, że nie ma tarcia ani innych sił oporu, zgodnie z zasadą zachowania energii suma energii kinetycznej i potencjalnej musi się równać energii całkowitej w dowolnej chwili ruchu

(3)

\( E_{{k}}+E_{{p}}=\frac{{mv}^{{2}}}{2}+\frac{{kx}^{{2}}}{2}=\frac{{kA}^{{2}}}{2} \)

Korzystając z wyrażeń Siła harmoniczna i drgania swobodne-( 2 ) i Siła harmoniczna i drgania swobodne-( 4 ) na \( x(t) \) i \( v(t) \) oraz pamiętając, że \( m\omega^{2}= k \) otrzymujemy

(4)

\( \frac{{kA}^{{2}}\sin^{{2}}{\omega t}}{2}+\frac{{kA}^{{2}}\cos^{{2}}{\omega t}}{2}=\frac{{kA}^{{2}}}{2} \)

Przykład 1:

Spróbujmy teraz obliczyć jaki jest stosunek energii potencjalnej do energii kinetycznej ciała wykonującego drgania harmoniczne, gdy znajduje się ono w połowie drogi między położeniem początkowym, a położeniem równowagi.Dla danego wychylenia ciała \( x = A/2 \) możemy korzystając ze wzoru ( 1 ) wyliczyć energię potencjalną

(5)

\( E_{{p}}=\frac{{kx}^{{2}}}{2}=\frac{{kA}^{{2}}}{8} \)

Ponieważ energia całkowita \( E \)

(6)

\( E=\frac{{kA}^{{2}}}{2}=E_{{k}}+E_{{p}} \)

więc podstawiając obliczoną wartość energii potencjalnej ( 5 ) otrzymujemy energię kinetyczną

(7)

\( E_{{k}}=\frac{3{kA}^{{2}}}{8} \)

Stąd

(8)

\( \frac{E_{{p}}}{E_{{k}}}=\frac{1}{3} \)

Widać, że dla \( x = A/2 \) energia kinetyczna jest trzykrotnie większa od potencjalnej.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Energia ruchu harmonicznego

Przykład 1: